Определение максимальных касательных напряжений. Касательные напряжения при плоском поперечном изгибе

(формула Д.И.Журавского для τ )

При плоском поперечном изгибе в сечении балки возникают как нормальные (s ), так и касательные (t ) напряжения, равнодействующими которых являются изгибающий момент (М ) и поперечная сила (Q ), соответственно.

Рассмотрим простую балку в состоянии плоского поперечного изгиба.

Выделим элемент балки длиной dx на расстоянии х от опоры 0. В левом сечении балки, согласно методу сечений, действуют положительные поперечная сила Q и изгибающий момент М , в правом сечении – поперечная сила Q и изгибающий момент М +dМ . В левом и правом сечениях на расстоянии у 1 от главной центральной оси z выделим, симметрично относительно оси у , элементарные площадки с площадью dA и приложим к ним нормальные и касательные напряжения, соответствующие действующим внутренним усилиям. Также как и момент М , нормальные напряжения в правом сечении будут больше, чем в левом, на величину ds .

Заметим, что наряду с касательными напряжениями t у , в сечениях будут действовать также касательные напряжения t z . Однако, у балок, сечения которых симметричны относительно оси у , что имеет место при плоском поперечном изгибе, эти напряжения малы и распределены по сечению симметрично относительно оси у (см. рис.4.23), поэтому ими пренебрегают. Также заметим, что напряжения t z играют существенную роль при расчете балок из тонкостенных несимметричных профилей.

Определим напряжения t y (индекс «у » у напряжений в дальнейшем будем опускать). Для этого плоскостью, параллельной нейтральному слою, расположенной от него на расстоянии у , рассечем элемент и рассмотрим равновесие нижней его части (рис.4.24).

Согласно закону парности касательных напряжений, по площади горизонтального сечения, перпендикулярно ребру, будут действовать касательные напряжения, которые равны по величине касательным напряжениям t , действующим в поперечном сечении на уровне у . Обозначим через А 1 – площадь части поперечного сечения, расположенной ниже уровня горизонтального сечения (у ).

Используем следующие допущения:

1) касательные напряжения равномерно распределены по ширине сечения;

2) при определении t будем пользоваться формулой для s , полученной при чистом изгибе;

3) продольные волокна балки не надавливаются друг на друга (s y =0).

Заметим, что по длине элемента dx , из-за ее малости, напряжения t также распределены равномерно.

Запишем уравнение равновесия для проекций сил на ось х

Здесь интегралы представляют собой равнодействующие нормальных напряжений s , которые прикладываются по площади А 1 левого и правого поперечных сечений. Приводя в полученном уравнении подобные члены, выразим искомые касательные напряжения. При этом внесем под знак интеграла длину элемента dx , как величину, не зависящую от переменной интегрирования. В результате получим

. (4.9)

Выполним в этом соотношении ряд преобразований и подстановок. Представим интеграл в виде , куда подставим выражение для нормальных напряжений, записанное согласно принятому допущению 2. В результате будем иметь

.

Напомним, что второе дифференциальное соотношение Журавского имеет вид , где Q – поперечная сила в сечении. С учетом этого, рассматриваемый интеграл запишется в форме

.

Вынесем за знак интеграла величины, которые не зависят от переменной интегрирования, и подставим полученное выражение в формулу (4.9)

.

Здесь: - статический момент относительно главной центральной оси z отсеченной части площади поперечного сечения А 1 . С учетом этого формула для касательных напряжений t при ППИ (формула Д.И.Журавского) принимает вид

Напомним обозначения, входящие в формулу Журавского:

Q – поперечная сила в сечении, в котором определяются напряжения t ;

I z – момент инерции поперечного сечения относительно оси z ;

b(y) – ширина сечения на уровне, где определяется напряжения;

Напряжение – численная мера распределения внутренних сил по плоскости поперечного сечения. Его используют при исследовании и определении внутренних сил любой конструкции.

Выделим на плоскости сечения площадку  A ; по этой площадке будет действовать внутренняя сила  R .

Величина отношения  R / A = p ср называется средним напряжением на площадке  A . Истинное напряжение в точке А получим устремив  A к нулю:

Нормальные напряжения возникают, когда частицы материала стремятся отдалиться друг от друга или, наоборот, сблизиться. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц по плоскости рассматриваемого сечения.

Очевидно, что

. Касательное напряжение в свою очередь может быть разложено по направлениям осейx и y (τ z х , τ z у ). Размерность напряжений – Н/м 2 (Па).

При действии внешних сил наряду с возникновением напряжений происходит изменение объема тела и его формы, т. е. тело деформируется. При этом различают начальное (недеформированное) и конечное (деформированное) состояния тела.

16.Закон парности касательных напряжений

Касат. напряжение на 2-ух взаимно перпендик. площ. направлены к ребру или от ребра и равны по величине

17.Понятие о деформациях. Мера линейной, поперечной и угловой деформации

Деформац – наз. взаимное перемещение точек или сечений тела по сравн с полож-ями тела которые они занимали до приложения внеш сил

бывают: упругие и пластические

а) линейная деформация

мерой явл относительное удлинение эпсила =l1-l/l

б) поперечная деф

мерой явл. относительное сужение эпсила штрих=|b1-b|/b

18.Гипотеза плоских сечений

Основные гипотезы (допущения): гипотеза о не надавливании продольных волокон: волокна, параллельные оси балки, испытывают деформацию растяжения – сжатия и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении; гипотеза плоских сечений : сечение балки, плоское до деформации, остается плоским и нормальным к искривленной оси балки после деформации. При плоском изгибе в общем случае возникают внутренние силовые факторы : продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М. N>0, если продольная сила растягивающая; при М>0 волокна сверху балки сжимаются, снизу растягиваются. .

Слой, в котором отсутствуют удлинения, называется нейтральным слоем (осью, линией). При N=0 и Q=0, имеем случай чистого изгиба. Нормальные напряжения:

, - радиус кривизны нейтрального слоя, y - расстояние от некоторого волокна до нейтрального слоя.

19.Закон Гука (1670). Физический смысл входящих в него величин

Он установил связь между напряжением, растяжением и продольной деформацией.

где Е – коэффициент пропорциональности (модуль упругости материала).

Модуль упругости характеризует жёсткость материала, т.е. способность сопротивляться деформациям. (чем больше Е, тем менее растяжимый материал)

Потенциальная энергия деформации:

Внешние силы, приложенные к упругому телу, совершают работу. Обозначим её через А. В результате этой работы накапливается потенциальная энергия деформированного тела U. Кроме того, работа идёт на сообщение скорости массе тела, т.е. преобразуется в кинетическую энергию К. Баланс энергии имеет вид А = U + К.

При поперечном изгибе в сечениях бруса одновременно действуют внутренние нормальные и касательные силы. Нормальные силы вызывают линейные а касательные - угловые у деформации продольных волокон бруса. В результате деформаций сдвига сечения бруса при поперечном изгибе депланируются. Опыт показывает, что наибольшее искривление сечения имеет место вблизи нейтрального слоя (рис. 6.14). Это означает что касательные напряжения при изгибе достигают наибольшей величины вблизи нейтральной оси сечения, где нормальные напряжения минимальны.

При поперечном изгибе имеет место также давление между волокнами бруса. Однако искривление плоскости сечения и давление между волокнами не сказывается сколько-нибудь заметно на распределении и величине нормальных напряжений в поперечных сечениях балок, у которых высота сечения мала по сравнению с длиной балки . А именно такие балки наиболее распространены в технике. Поэтому нормальные напряжения и при поперечном изгибе балок вычисляют по формулам., выведенным для случая чистого изгиба.

Перейдем к определению касательных напряжений векторы которых параллельны плоскости действия нагрузки. Кроме этих напряжений в сечении могут

существовать также направленные параллельно нейтральной оси напряжения Однако напряжения в сплошных сечениях, как доказано в теории упругости, существенно меньше напряжений, и поэтому ими в расчетах обычно пренебрегают.

Непосредственное определение напряжений затруднительно. Проще определить парные им касательные напряжения возникающие в продольных сечениях бруса (рис. 6.15).

Предположим, что по ширине сечения касательные напряжения распределены равномерно. Более точная теория показывает, что это допущение выполняется тем точнее, чем меньше ширина сечения по сравнению с его высотой.

Определим напряжение в точке А сечения находящейся на расстоянии от нейтральной оси. Для этого продольным горизонтальным сечением, проходящим через точку А, и еще одним поперечным сечением выделим элемент бруса длиной (см. рис. 6.15).

При переходе от одного поперечного сечения к другому, находящемуся на расстоянии изгибающий момент изменится на величину Следовательно, по торцевым граням выделенного элемента будут действовать различные по величине напряжения но тогда и равнодействующая нормальных сил на площади (ее называют площадью отсеченной части сечения) левого торца рассматриваемого элемента

не будет равна соответствующей равнодействующей нормальных сил на правом его торце

Равнодействующие (рис. 6.16) противоположно направлены, и их разность должна уравновешиваться касательными силами действующими на продольном сечении суще

сущемента. Вследствие малой длины элемента и допущения о равномерном распределении напряжений по ширине поперечного сечения напряжения можно считать распределенными равномерно по всей продольной грани элемента. Следовательно, уравнение равновесия выделенного элемента будет иметь вид

Учитывая, что а интеграл представляет собой статический момент площади отсеченной части относительно нейтральной оси сечения, получаем расчетное уравнение для касательных напряжений при поперечном изгибе

здесь - момент инерции всего сечения; а - ширина сечения на уровне той точки, где определяется напряжение.

Формула (6.17) называется формулой Журавского по имени русского инженера-мостостроителя, впервые применившего ее к балкам прямоугольного сечения.

Для прямоугольного сечения статический момент отсеченной части на уровне у от нейтральной линии (рис. 6.17)

Следовательно, распределение напряжений по высоте прямоугольного сечения изображается параболой

Максимальные касательные напряжения действуют в точках нейтральной линии

В круглом сечении эпюра касательных напряжений ограничена кривой, имеющей максимум на нейтральной оси. Учитывая, что статическии момент полукруга и момент инерции круга получаем Следовательно, максимальные касательные напряжения в круглом сечении на больше средних напряжений по которым, например, обычно проводится расчет заклепок.

Для треугольного сечения с основанием и высотой (см. рис. 6.17), имеем в этой точке. Учитывая, что в контурной точке сечения вектор полного напряжения направлен по касательной к контуру (см. разд. 5.5), приходим к выводу, что гипотенуза построенного треугольника определяет величину и направление искомого напряжения . Этим же построением доказывается существование составляющих о которых упоминалось выше. Изложенное иллюстрируется рис. 6.18 на примере круглого сечения.

В заключение отметим, что формулой Журавского можно пользоваться только в тех случаях, когда плоскость действия нагрузки перпендикулярна одной из главных центральных осей инерции сечения. Объясняется это тем, что при выводе формулы Журавского использовано уравнение (6.14), справедливое лишь при указанных условиях.

Напряжение в сопротивлении материалов - это интенсивность внутренних сил на некотором участке внутри материала. Его используют при исследовании прочности элемента либо материала.

Считается, что определенный материал в определенных условиях может выдержать определенный уровень напряжений. Таким образом, определив разрушающие напряжения при лабораторном испытании материала, можно прогнозировать прочность этого материала в любом другом элементе.

Напряжения, возникающие в направлении, перпендикулярном к сечению, называют нормальными , обозначаются $\sigma$.
Напряжения, возникающие в плоскости сечения, называют касательными , обозначаются $\tau$.

Наша группа

Новости сайта:

Добавлен , теперь намного проще и быстрее можно построить расчетную схему для стандартных ферм.

12-05-2017 06:02

В расчете балок исправлена ошибка при длинах балки больше 10м. была неверная прорисовка балки.

09-05-2017 20:00

Расчет рам методом сил стал проще. В расчете рам реализована возможность получения развернутого решения методом сил.

01-05-2017 16:00

В расчете геометрических характеристик сечения добавлен полукруг.

21-04-2017 22:10

РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ теперь адаптирован под мобильные устройства . Теперь моменты инерции и центр тяжести можно вычислить на смартфоне.

13-04-2017 07:20

Существенно переработан РАСЧЕТ БАЛОК . Добавлена возможность учета треугольной и трапециевидной нагрузки . Оптимизировано для использования на смартфонах .

31-03-2017 08:33

Очередные улучшения расчета рам - теперь сервис автоматически определяет степень статической неопределимости системы и позволяет упростить Вам ход расчета статически неопределимой рамы методом сил или перемещений.