Основная система сопромат. Строительная механика. Сущность расчета статически неопределимых систем методом сил

1. Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил. Вывод канонических уравнений

Статически неопределимые балки и рамы – конструкции, в которых уравнений статики недостаточно для определения опорных реакций и внутренних усилий. Число связей, наложенных на статически неопределимую систему, больше того количества связей, которые обеспечивают геометрическую неизменяемость конструкции. Такими связями могут быть как опорные связи, так и стержни самой конструкции.

Шарнирно-подвижная опора запрещает перемещение по направлению, перпендикулярному плоскости опирания, и является одной связью. Шарнирно-неподвижная опора делает невозможными линейные перемещения по двум взаимно-перпендикулярным направлениям (вертикальному и горизонтальному) и соответствует двум связям, наложенным на конструкцию. Наконец, при наличии жесткого защемления на конце стержня становятся невозможными все перемещения: и вертикальное, и горизонтальное, и угол поворота, поэтому жесткое защемление представляет собой три связи, обеспечивающие геометрическую неизменяемость балки (рамы). Каждая дополнительная связь сверх трех для плоских систем превращает конструкцию в статически неопределимую. Такие дополнительные связи, которые не являются необходимыми для обеспечения геометрической неизменяемости конструкции, называются лишними .

Статически неопределимые системы обладают рядом характерных особенностей:

1. Статически неопределимая система ввиду наличия добавочных лишних связей, по сравнению с соответствующей статически опре­делимой системой оказывается более жесткой.

2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.

3. Разрушение лишних связей в нагруженном состоянии, не ведет к разрушению всей системы в целом, так как удаление этих связей приводит к новой геометрически неизменяемой системе, в то время как потеря связи в статически определимой системе приводит к изменяемой системе.

4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.

5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.

6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадка опор, неточности изготовления и монтажа вызывают появление дополнительных усилий.

Метод сил. При расчете по методу сил основными искомыми величи­нами являются усилия в лишних связях. Знание усилий в лишних связях позволит по методу сечений выполнять полный расчет по определению усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов заданной системы.

Степень статической неопределимости системы

Перед расчетом статически неопределимой конструкции необходимо сначала определить степень статической неопределимости рассматриваемойсистемы. Для балок и простых рам степень статической неопределимости равна числу лишних опорных связей. В каждой связи возникает опорная реакция, поэтому степень статической неопределимости можно найти, сосчитав разность между количеством неизвестных опорных реакций и числом независимых уравнений статики.

Рис.1

Например, балка на рис. 1, а является один раз статически неопределимой, так как имеет 4 связи и 4 неизвестные опорные реакции, а количество независимых уравнений равновесия – 3. В раме, показанной на рис. 3, а , число наложенных связей и опорных реакций в них равно 5, и эта рама является дважды статически неопределимой. Если в один из стержней балки (рамы) врезан шарнир, то количество связей уменьшается на единицу, так как становится возможным взаимный поворот сечений, примыкающих к шарниру. Появляется дополнительное уравнение для определения опорных реакций: "изгибающий момент в шарнире равен нулю" или можно сказать по-другому: "сумма моментов всех сил, расположенных слева (или справа) от шарнира, равна нулю". Так, балка с врезанным в точке Е шарниром, показанная на рис. 2, а , является один раз статически неопределимой: от 5 опорных связей надо вычесть одну связь, связанную с наличием дополнительного шарнира в точке Е . Из четырех оставшихся связей одна является лишней. Можно сосчитать степень статической неопределимости этой балки и иначе: для определения пяти опорных реакций можно составить четыре уравнения статики (дополнительное уравнение "изгибающий момент в шарнире Е равен нулю"). Разность между числом реакций и количеством уравнений статики равна единице, то есть балка один раз статически неопределима.

Рис.2

Рис.3

Метод сил

Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил . Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе решения неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил».

Алгоритм расчета методом сил

Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:

1. Определить степень статической неопределимости.

2. Выбрать основную систему.

3. Сформировать эквивалентную систему.

4. Записать систему канонических уравнений.

5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.

6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.

7. Построить суммарную единичную эпюру.

Выбор основной системы

Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной систе­мы . После того как дополнительные связи отброшены и система превращена в статически определимую, необходимо ввести вместо связей неизвестные силовые факторы, которые принято называть лишними неизвестными . В тех сечениях, где запрещены линейные перемещения, вводятся силы. Там, где запрещены угловые смещения, вводятся моменты. Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать X i , где i - номер неизвестного. Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы. Заметим, что для внутренних связей силы X i , - являются взаимными. Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные друг другу силы и моменты прикладываются как к правой, так и к левой частям системы.

Основную систему с приложенными к ней лишними неизвестными Х 1 , Х 2 ,...X n и внешней нагрузкой Р называют эквивалентной системой при условии, что её действительные перемещения согласуются с наложенными на исходную систему связями. Для каждой статически неопределимой заданной системы (рис. 10, а ) можно подобрать, как правило, различные основные системы (рис. 10, б , в ), однако их должно объединять следующее условие  основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой (т.е. не должна менять свою гео­метрию без деформаций элементов).

Рис. 10

Канонические уравнения метода сил

В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i -ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид:

где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. - это перемещение по направлению i -ой связи, вызванное реакцией k -ой связи; - перемещение по направлениюi -ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки.

В методе сил реакцию k -ой связи принято обозначать через . С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещенияможно представить в виде:

где - единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакциейт.е. реакцией, совпадающей по направлению сX k , но равной единице.

Подставляя (14.3) в (14.2), получим:

Физический смысл уравнения (14.4): перемещение в основной системе по направлению i -ой отброшенной связи равно нулю.

Записывая выражения, аналогичные (14.4), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:

(14.5)

Здесь – единичные перемещения;,– моменты от единичных сил, приложенных в направлении неизвестных,;– изгибная жесткость. Обобщенные перемещенияназываются грузовыми перемещениями;– изгибающий момент, вызываемыйi - й единичной силой; – изгибающий момент, который вызван системой внешних сил.

Единичные перемещения делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы (), и побочные (,). Главные перемещения всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е., это свойство называется закономпарности коэффициентов при неизвестных.

Вид уравнения (14.5), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.

Основы метода сил

1.1 Основные понятия о статически неопределимых стержневых системах. Их свойства. Методы расчета.

Статически неопределимыми стержневыми системами назовем такие, для расчета которых недостаточно одних уравнений равновесия. Другими словами, статически неопределимыми системами являются те, на которые наложено большее число связей, чем необходимо с точки зрения обеспечения геометрической неизменяемости.

Различают два основных типа статически неопределимых систем – внешне и внутренне статически неопределимые. Конечно, возможен случай, когда стержневая система статически неопределима внешне и внутренне, т.е. смешанная.

Внешне статически неопределимой системой является та стержневая система, на которую наложено большее число связей в виде опорных стержней – рис. 1.1 а.

Число «лишних» связей при внешней статической неопределимости определяется по формуле:

где Д – число жестких дисков, из которых состоит стержневая система;

Ш – число простых шарниров, соединяющих между собой жесткие диски. Если шарнир соединяет более двух дисков, то он называется кратным и равен d -1 простым шарнирам (d – число соединяемых дисков);

С о – число опорных стержней, наложенных на систему.

Если стержневая система обладает замкнутыми контурами, а число наложенных связей обеспечивает только геометрическую неизменяемость (рис. 1.1 б), то такая система является внутренне статически неопределимой. Так как каждый замкнутый контур трижды статически неопределим, а шарнир в нем понижает неопределимость на единицу, то не сложно вывести формулу:

, где

К – число замкнутых контуров;

Ш


к – число простых шарниров в замкнутых контурах.

В случае, когда стержневая система и внешне и внутренне статически неопределима (рис. 1.1 в), то степень статической неопределимости устанавливают путем суммирования внешней и внутренней статической неопределимости:

Статически неопределимые стержневые системы обладают рядом преимуществ по сравнению с уже известными нам статически определимыми:

Большей жесткостью из-за наличия «лишних» связей.

Перераспределением внутренних усилий пропорционально жесткостям стержней.

Надежностью в эксплуатации, так как выход из работы связи не ведет к разрушению всей конструкции, а приводит к понижению ее статической неопределимости и перераспределением внутренних усилий.

Тепловое воздействие, осадка опор, неточность монтажа вызывают появление внутренних усилий. Это свойство требует учета перечисленных факторов воздействия в процессе проектирования, возведения и эксплуатации сооружений.

Для расчета статически неопределимых систем разработаны два основных метода: метод сил и метод перемещений .

В методе сил центральной задачей является определение усилий в «лишних» связях, а в методе перемещений – определение перемещений (угловых и линейных) всех узлов стержневой системы.

На базе основных методов разработаны и другие – комбинированный и смешанный.

Все перечисленные методы относятся к классическим и ориентированы в основном на ручной расчет, хотя с развитием вычислительной техники удалось в той или иной мере приспособить их к автоматизации расчетов.

В настоящее время широко применяется метод конечных элементов (МКЭ) ­– метод, изначально разработанный для реализации на ЭВМ. На его базе разработаны ряд вычислительных комплексов – «Лира», «Мираж», «Скад» и др..

1.2. Сущность метода сил

Р


ассмотрим внешне статически неопределимую стержневую систему (рис. 1.2 а). Она обладает двумя «лишними связями, т.е. является дважды статически неопределимой:

Заменим «лишние связи неизвестными усилиями (рис. 1.2.б). Если неизвестные усилия Х 1 и Х 2 примут значения усилий опорных реакций H A и V A , то вторая схема станет эквивалентной первой, но при этом будет статически определимой. Назовем ее основной системой метода сил .

Таким образом, для решения статически неопределимой рамы необходимо перейти к статически определимой, ей эквивалентной. Если найти каким-то образом усилия в «лишних» связях, то не будет уже сложным рассчитать статически определимую раму (основную систему метода сил) на действие заданной внешней нагрузки и известных уже усилий х 1 и х 2 .

Из сравнения заданной статически неопределимой рамы и выбранной основной системы (статически определимой) следует, что с кинематической точки зрения они будут эквивалентны лишь в случае, если перемещения по направлению отброшенных связей в основной системе будут равны перемещениям в заданной, т.е. равны нулю:

Определим перемещения  1 и  2 :

В общем случае, когда отброшено к «лишних» связей:

,

где – перемещение точки приложения силы x i по ее направлению от действительной силы x k , нам неизвестной;

 iP х i по ее направлению от заданной нагрузки (умеем находить).

Представим

 ik – перемещение точки приложения силы х i по ее направлению от

силы в основной системе, статически определимой, которое умеем находить).

Тогда условие эквивалентности основной системы заданной статически неопределимой рамы можно записать так:

Физический смысл полученной системы уравнений – канонических уравнений метода сил в том, что перемещения по направлению отброшенных связей равны нулю.

Из решения канонических уравнений метода сил и находятся искомые величины неизвестных усилий х i .

После определения неизвестных усилий х i можно рассчитать основную систему как статически определимую, загруженную заданной нагрузкой и найденными усилиями х i .

1.3. Порядок расчета статически неопределимых рам методом сил.

В силу того, что речь идет о ручном расчете статически неопределимых стержневых систем, то наряду с самим расчетом нам важна вторая сторона действия – контроль за расчетом. В связи с этим был выработан достаточно оптимальный алгоритм метода сил, а именно:

1. Определяем степень статической неопределимости (количество «лишних» связей):

– внешне статически неопределимая система:

– внутренне статически неопределимая система:

– смешанная статическая неопределимость:

2. Выбираем основную систему метода сил (статически определимую, геометрически неизменяемую) путем замены «лишних» связей неизвестными усилиями x i .

3. Запишем систему канонических уравнений метода сил, отражающую условие равенства нулю перемещений по направлению отброшенных «лишних» связей (она в определенной мере подскажет ход последующих действий):

5. Произведем проверку правильности определения коэффициентов  ik и  iP . Для этого построим вспомогательную суммарную единичную эпюру изгибающих моментов – :

Применяются следующие проверки:

– универсальная: ;

– построчная: ;

­– постолбцовая ;

.

6. Из решения системы канонических уравнений находим усилия x i .

7. Строим окончательную эпюру изгибающих моментов М ок путем наложения (сложения откорректированных эпюр с эпюрой М Р ):

или .

8. Проверим правильность построенной эпюры М ок . Для этого определим суммарное перемещение по направлению отброшенных связей в основной системе, которое должно равняться нулю – полная деформационная проверка:

,

а также в качестве проверки и для сужения области допущенной ошибки вычисляется перемещение по направлению конкретной i -й связи, которое также равно нулю:

.

9. Эпюру поперечных сил можно построить двумя способами:

x i ;

­– используя построенную эпюру М ок и схемы загружения рассматриваемого стержня, в котором устанавливается поперечная сила, так как , то

,

где – эпюра поперечных сил в рассматриваемом стержне от внешней нагрузки (чаще всего распределенной), когда стержень представлен балкой на двух шарнирных опорах;

М пр и М лев – соответственно правый и левый изгибающие моменты на концах стержня в эпюре М ок ;

– длина рассматриваемого стержня.

10. Эпюру нормальных сил также можно построить двумя способами:

– традиционно, по участкам, с использованием метода сечений, рассматривая равновесие одной из отсеченных частей основной системы под действием внешней нагрузки и усилий x i (объединив с определением поперечных сил);

– используя условие статического равновесия узлов под действием нормальных – неизвестных и поперечных, известных из эпюры Q , сил.

После построения эпюр поперечных и нормальных сил проводим проверку результатов решения, используя для этого ранее не применявшиеся способы определения сила и воля (зачастую неосознаваемые...

Розрахунок двошарнірної арки методом сил

Курсовая работа >> Строительство

... ідомих методу сил Вибір основної системи методу сил Запис канонічного рівняння методу сил Визначення... який опирається на нерухому основу за допомогою чотирьох опорних в’язей... є основне невідоме методу сил . 3.Для основної системи методу сил канонічне рівняння...

Основы научных исследований (2)

Реферат >> Менеджмент

Непосредственную производительную силу . Методология научного исследования *Классификация методов научного исследования. Методы эмпирического (... и др.). В результате исследований на основе метода научной абстракции формулируются экономические законы...

Методы исследования социально-экономических и политических процессов

Курсовая работа >> Социология

3.1 Теоретико-методологические основы методов социально-экономического прогнозирования 3.2 Классификация методов прогнозирования ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК... параметры функционирования отдельных элементов производительных сил в их взаимосвязи и взаимозависимости. ...

Строительная механика

1. Метод определения внутренних усилий в упругих системах – метод сечений (РОЗУ).

Так как внутренние силы взаимно уравновешены и стоит задача выразить их через внешние, то необходимо выполнить такую операцию, чтобы внутренние силы стали явными.

Например для стержня можно применить прием мысленного рассечения на две части плоскостью, перпендикулярной продольной оси. Затем отбросить одну из полученных частей, что позволяет превратить внутренние силы, для целого стержня, во внешние для оставленной части стержня.

1. Рассекаем.

Силы взаимодействия будут в каждой точке проведенного сечения.

Эту систему большого числа сил по правилам теоретической механики можно привести к одной точке (центру тяжести поперечного сечения), в результате чего получим главный вектор R и главный момент М.

2. Отбрасываем отсеченную часть (левую или правую).

Теперь спроецируем на три оси (продольную z и две взаимно-перпендикулярные поперечные х и у). В результате получим шесть внутренних силовых факторов: три силы N, Qx Qy и три момента Мx, My и Мz.

Сила N называется продольной силой, силы Qx и Qy - поперечные силы. Момент относительно оси z - Мz - крутящий момент; и моменты Мx, My относительно поперечных осей - изгибающие.

Каждому из внутренних усилий соответствует определенный вид деформации (изменение формы), бруса. Например, продопьной силе N соответствует растяжение (или сжатие) бруса.

3. Заменяем

Таким образом, рассматривается одна из полученных при рассечении частей стержня, которая нагружена приложенными к этой части внешними силами и шестью внутренними усилиями (рис. 1.8).

4. Уравновешиваем

Для установления связи внутренних и внешних сил можно к этой части применить уравнения равновесия, (уравновешиваем), так как известно, что если тело находится в целом в равновесии, то в равновесии и любая его часть.

2.1. Обобщенная формула Максвелла-Мора для определения перемещений в плоских стержневых системах (балки, рамы, фермы).

где ∆кр- искомое перемещение в стержневой системе по направлению К от причины Р – внешней максимальной нагрузки;

n – максимальное количество участков, на которое разбивается система при построении эпюр внутренних усилий;

li – длина i -го участка;

Mp, Qp, Np – грузовые эпюры внутренних усилий на i -м участке, построенные от действия внешней нагрузки Р;

Mк, Qк, Nк – единичные эпюры внутренних усилий на i -м участке, построенные от действия общей единичной нагрузки Рк=1, приложенной в месте и направлении искомого перемещения;

k – безразмерный коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения (при  =1,2; I =1,16);

EI , GF , EF – изгибная, сдвиговая, осевая жесткости i -го участка;

Первое слагаемое в скобках – для расчета балок и рам, третье – для расчета ферм, первое и третье в сумме – для расчета арок.

Например, для ферм:

2.2. Правило Верещагина.

Применимо для балок, рам и арок.

При вычислении интегралов вместо аналитических выражений моментов используются их эпюры. Т.е. значение ∆кр можно найти по способу Верещагина, перемножив эпюры Мp и Мк.

Перемножить две эпюры - значит площадь нелинейной эпюры изгибающих моментов умножить на ординату другой обязательно линейной эпюры, находящейся под центром тяжести первой, и результат разделить на жесткость (в случаях, когда на данном участке обе эпюры линейны, совершенно безразлично, на какой из них брать площадь, а на какой ординату).

где  - площадь произвольной фигуры;

Мc - ордината прямолинейной эпюры, соответствующей центру тяжести площади 

(с – центр тяжести эпюры)

Другими словами, интеграл Мора решается следующим образом:

3. Сущность расчета статически неопределимых систем методом сил.

1. Определяем степень статической неопределимости системы по формуле Коперника:

Где - число лишних связей, К – число замкнутых контуров, число шарниров, Со – число опорных связей.

2. Составляем рациональный вариант основной системы – это система, освобожденная от дополнительных связей. Такая система статически определима. Но вместо отброшенных связей необходимо ввести неизвестные силовые факторы.

Новая система будет называться эквивалентной. Важно, чтобы система оставалась статически неизменяемой.

3. Строим единичные эпюры от усилий Xi=1, совпадающих по направлению с неизвестными силовыми факторами, грузовую эпюру Мр.

5. Решаем систему канонических уравнений метода сил, получаем искомые неизвестные силовые факторы:

8. При необходимости производим проверки: деформационная для моментов и статическая для поперечных и продольных сил.

4. Сущность расчета статически неопределимых систем методом перемещений.

1. Определяем степень кинематической неопределимости системы по формуле:

Где ny – число углов поворота жестких узлов системы, nл – число независимых линейных перемещений рамы, связанных с изгибом ее элементов.

Строим основную систему метода перемещений, путем отбрасывания неизвестных перемещений: в жесткие узлы включаем плавающие заделки, фиксирующие углы поворота этих узлов; линейные смещения фиксируем соответствующими линейными связями.

3. Заменяем основную систему на эквивалентную, вводя вместо неизвестных силовых факторов единичные усилия Z i=1.

Строим единичные эпюры моментов от Z i=1, грузовую эпюру моментов Мр.

4. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения перемножением единичных эпюр: .

Вычисляем свободные члены канонического уравнения перемножением грузовых и единичных эпюр: .

5. Решаем систему канонических уравнений метода перемещений, получаем искомые неизвестные силовые факторы:

6. В исходной системе строим эпюру.

7. Строим эпюру, строим эпюру.

8. Канонические уравнения являются уравнениями совместности перемещений исходной и основной систем по направлению отброшенных связей.

5. Понятие об определении частот и форм собственных колебаний.

N=2 (I 1 и I2)

Частотное уравнение:

где m 1=2 m , m 2= m +2 m =3 m , i , j = 1, 2, причем Mi от Ii =1, W – частота собственных колебаний системы.

Раскрывая определитель, получаем квадратное уравнение, корнями которого будут частоты W 1 и W 2, составляющие спектр частот, причем меньшая W будет называться частотой основного тона или опасной частотой собственных колебаний.

Форма колебаний определяется соотношением амплитудных перемещений присоединенных масс. Для определения формы колебаний используют канонические уравнения метода максимальных инерционных сил:

(форма колебаний)

Где Ai – амплитуда i-й массы

6.1. Краткая характеристика методов расчета упругих систем на устойчивость: статический.

Ркр - ?

; (с – коэфф. жесткости пружины).

Рассматривается новая, иная форма равновесия. Для новой формы записываются уравнения равновесия статики, из которых определяются критические значения сжимающей нагрузки Ркр.

6.2. Краткая характеристика методов расчета упругих систем на устойчивость: энергетический.

А – работа внешних сил, П – потенциальная энергия.

При А≥П – система неустойчива, А<П – устойчива.

Возможные вариации:

при бЭ=0 – положение равновесия;

а) б2Э>0 – система устойчива;

б) б2Э=0 – система безразлична;

в) б2Э < 0 – система неустойчива.

6.3. Краткая характеристика методов расчета упругих систем на устойчивость: динамический.

P0

P = P кр тогда W  0

7. Вид канонических уравнений метода перемещений при расчете рам на устойчивость.

Для отыскания критического состояния системы, исходное равновесие которой обозначено штриховыми линиями на рисунке соответствии с принципом малых возмущений задается отклонение некоторым малым воздействием (сила Т). Возмущенное состояние системы характеризуется искривлением первоначально прямых стержней и возникновением в общем случае поворотов и линейных смещений узлов. Эти линейные и угловые перемещения узлов принимаются за основные неизвестные в расчете на устойчивость методом перемещений.

Система канонических уравнений метода перемещений для расчета на устойчивость:

I = 1, 2,…, n.

или в развернутом виде:

Матричная форма записи канонических уравнений:

Где

Матрица внешней жесткости основной системы;

Единичные перемещения.

Так как rik является функцией V, то рассчитав определитель матрицы (уравнение устойчивости), найдем Vкр. Таким образом можно найти Ркр:

Канонические уравнения описывают возмущенное состояние системы, качественно альтернативное исходному. Они линейны относительно основных неизвестных Z и однородны (не имеют свободных членов) – это следствие использования предпосылок линейной теории устойчивости.

Компоненты rik матрицы внешней жесткости представляют собой реакции введенных связей в единичных состояниях основной системы (от единичных смещений этих связей). Для определения rik можно использовать те же способы, что при расчетах на прочность.

Zi

F t = a t F

определимую систему, что не соответствует действительности. Это тот случай, когда сам диск статически неопределим, т.е. содержит лишние связи. Мы не можем определить усилия в стержнях, ограничивающих замкнутый контур с помощью уравнений статики. Пользуясь, например, способом сечений и отсекая часть контура сквозным сечением 1-1, (рис. 2.2б) мы неизбежно перерезаем два стержня, а в сечении каждого из этих стержней будут три неизвестных усилия (M , Q иN ). Эти неизвестные шесть усилий невозможно найти с помощь трех уравнений статического равновесия, используемых для расчетов статически определимых плоских систем, поэтому рама на рис. 2.2б трижды статически неопределима. Убедимся в этом, определим число лишних связей в этой раме по формуле (2.2), т.е.:Л = 3К − Ш = 3 1− 0= 3.

Степень статической неопределимости рам, изображенных на рис. 2.2в, г по формуле (2.1) соответственно равна:

Л = 2 1+ 6− 3 2= 2 ;Л = 2 4+ 9− 3 3= 8, и по формуле (2.2)Л = 3 3− 7= 2 иЛ = 3 6− 10= 8.

В шарнирно-стержневых системах (фермах) число лишних связей можно находить по формуле (2.1), но удобнее пользоваться по известной из

первой части курса формулой
	Л = С+ Соп − 2 У,
C иУ – количество стержней и узлов в структуре системы,
С on – соответственно число опорных стержней и узлов.
	Последнее слагаемое в формуле (2.3) соответствует двум степеням сво-
боды каждого узла как точки в плоскости.
	В неразрезных балках число лишних связей удобно находить по фор-
	Л =С оп −3 ,

т.е. из общего числа опорных связей необходимо вычесть три связи, минимально необходимые для закрепления тела в плоскости.

Степень статической неопределимости системы является важным ее показателем, от которого зависит весь дальнейший расчет методом сил. Поэтому необхо-

димо научиться правильно пользоваться приведенными выше формулами.

2.2. Свойства статически неопределимых систем

Лишние связи накладывают отпечаток на характер работы системы. Они изменяют ее напряженно-деформированное состояние по качественному и количественному признакам. В этом легко убедиться на примере простой системы – двухпролетной неразрезной балки, изображенной на рис. 2.3а, содержащей одну лишнюю связь.

I состояние
М1 =
									2 =8
II состояние
								М2 =q 2
				М = q 2

В заданной системе по формуле

(2.4) имеем:

Л =С оп −3 =4 −3 =1 ,

т.е., балка один раз статически неопределима. Рассмотрим два напряжен- но-деформированных состояния этой балки: в первом состоянии удалим лишнюю связь, отбросив опорный стержень на опореB (балка стала статически определимой), и построим эпюру изгибающих моментов(M ) в

этой системе от заданной нагрузки q

(рис. 2.3б).

Максимальный изгибающий момент будет M max = q (2 8 l ) 2 = q 2 l 2 .

В этом состоянии сечение балки, совпадающее с опорой B , будет иметь линейное перемещение по вертикали.

Во втором состоянии (рис. 2.3в) рассмотрим балку статически неопределимой, сохранив опору B , как указано на рис. 2.3а. Эпюра изгибающих моментов в этом случае от действия одной и той же нагрузки имеет совершенно

же его знак), а в серединах пролетов значения изгибающих моментов равны

M 1 = M 2 = q l 2 , что существенно меньше изгибающих моментов в этих сече16

ниях в однопролетной балке, равных 8 3 q l 2 .

В этом состоянии (рис. 2.3в) перемещение по вертикали на опоре B отсутствует, так как в указанном направлении имеется связь.

Как видим, избыточная связь оказала существенное влияние на характер распределения изгибающих моментов в балке и ее перемещения. Аналогичным образом можно показать изменение распределения, например, поперечных сил в сечениях этой балки.

Отметим основные общие свойства, присущие статически неопределимым системам:

1. Усилия в элементах статически неопределимых систем зависят, в общем случае, от размеров поперечных сечений и модулей упругости материала этих элементов (от соотношения жесткостей элементов).

Это вытекает из определения статически неопределимых систем (п.2.1.). Так как в дополнительных уравнениях отыскиваются перемещения, то эта операция может быть выполнена, например, с помощью формулы Мора, которая при действии внешних нагрузок имеет вид:

∆ i p= ∑

+ ∑

+ ∑

i = 1 0

i = 1 0

i = 1 0

Из формулы (2.5) следует, что мы не можем определять перемещения не учитывая жесткости элементов системы, и поэтому не сможем рассчитать статически неопределимую систему.

2. В элементах статически неопределимых систем при отсутствии внешней нагрузки могут возникать усилия, вызываемые неравномерным смещением опор, изменением температуры окружающей среды, или неточностью сборки. На рис. 2.4 приведена неразрезная балка (Л =4), третья опора которой сместилась на величинуC 3 и произошел изгиб балки по всей

ее длине по некоторой кривой y (x ) . На основании известной зависимости

EIy ′′ (x ) = M x можно утверждать, что во всех сечениях балки возникнут изгибающие моменты, а также поперечные силы, ввиду взаимосвязи

Q x = dM dx.

Однопролетная балка с обоими защемленными концами (Л =3), изображенная на рис. 2.5, неизбежно выпучиться при одностороннем увели-

3. Статически неопределимые системы можно рассматривать как усложненные в сравнении со статически определимыми, послужившими основной для образования соответствующих статически неопределимых систем. Поэтому, выход из строя даже всех избыточных связей (кроме абсолютно необходимых), не приведет к изменяемости системы. Произойдет перераспределение усилий в элементах системы, но система, как таковая, останется неизменяемой и в определенной мере пригодной по своему назначению. Выход из строя хотя бы одного элемента в статически определимой системе приводит к ее изменяемости. Поэтому статически неопределимые системы обладают большей «живучестью» в буквальном смысле этого слова.

4. Усилия и перемещения в статически неопределимых системах, как правило, меньше в сравнении с их значениями в исходных статически определимых системах. Это обусловлено большей взаимосвязанностью элементов статически неопределимой системы, большей возможностью пере-

распределения усилий между ее элементами (см. рис. 2.3).

5. При заданных внешних воздействиях статически неопределимая система допускает бесконечное множество состояний статического равновесия. В этом можно убедиться на примере неразрезной балки с одной лишней связью, нагруженной внешними нагрузками (рис. 2.6а). Отбросим любую условно необходимую связь, например, обозначенную цифрой 3, и усилие в этой

					связи обозначим через X 1 (рис. 2.6б).
					Причисляя силу X 1 к внешним на-
					грузкам, можно принимать любые ее
					значения и будут соблюдаться условия

равновесия системы под действием

совокупной нагрузки, включающей заданные внешние нагрузки и силу X 1 .

Это особенность статически неопределимых систем в отличие от статически определимых, в которых заданному загружению нагрузками соответствует одно единственное условие статического равновесия и оно является истинным.

Расчет статически неопределимой системы состоит в том, чтобы из множества возможных равновесных состояний системы отыскать то единственное (истинное), которое удовлетворяло бы условиям статического равновесия и остальным условиям напряженно-деформированного состояния системы, например, перемещениямвыбранныхсеченийпоизвестнымнаправлениям.

2.3. Методы расчета статически неопределимых систем

Выше (п. 2.2) приведено одно из свойств статически неопределимых систем, согласно которому усилия в элементах системы зависят от жесткости этих элементов. Поэтому, прежде чем рассчитывать такую систему, необходимо назначить сечения ее элементов. Жесткости этих элементов будут учитываться в процессе расчета. Эта операция неизбежна независимо от того, каким методом рассчитывается система. По существу, выполняется повероч-

ный расчет: по заданной геометрической схеме, нагрузкам и принятым сечениям определяются усилия в элементах системы, по которым вновь подбираются сечения элементов. Если полученные по усилиям сечения элементов отличаются от ранее принятых более, чем на 20%, то расчет повторяют, приняв за исходные найденные сечения первого приближения.

Метод расчета статически неопределимых систем определяется выбором основных неизвестных. Если в качестве основных неизвестных принимаются усилия в лишних связях системы, то метод расчета условились называть методом сил , а если основными неизвестными являются перемещения узлов системы, то –метод перемещений . Если основными неизвестными в рассчитываемой системе приняты одновременно усилия и перемещения, то метод называетсясмешанным .

Основными классическими методами расчета статически неопределимых систем являются названные методы, которые с учетом принимаемых допущений относятся к точным методам.

Ниже рассмотрены метод сил и метод перемещений, дано их теоретическое обоснование и приведены примеры численного решения конкретных задач.

Расчет стержневых систем методом сил

3.1. Сущность метода сил. Канонические уравнения

Метод сил исторически был первым методом, которым рассчитывали статически неопределимые системы. Он применим к любым статически неопределимым системам, является хорошей основой для создания и совершенствования других точных и приближенных методов. Особенность метода сил состоит в том, что ход расчета этим методом зависит от степени статической неопределимости заданной системы, т.е. от числа лишних связей в этой системе. Чем больше в заданной системе избыточных (лишних) связей, тем более трудоемок ее расчет.

В расчете систем методом сил можно выделить следующие основные этапы:

1. Устанавливают степень статической неопределимости системы (по формулам (2.1) ÷ (2.4) в зависимости от типа заданной системы).

2. Выбирают так называемую основную систему (О.С.), отбрасывая избыточные связи. Связи могут быть отброшены любые, но полученная основная система должна оставаться геометрически неизменяемой в целом и в отдельных своих частях.

Основная система может быть принята статически определимой (отброшены все лишние связи), или же статически неопределимой (отброшено часть связей). Мы будем пользоваться статически определимой основной системой, как более простой и удобной в выполнении расчета.

Для одной и той же заданной системы может быть найдено много вариантов статически определимых систем. Нужно стремиться отыскать такую основную систему, которая позволяет более просто выполнять расчет.

3. Отброшенные в основной системе лишние связи заменяются усилиями в этих связях, которые принимают за основные неизвестные.

4. Значения основных неизвестных находят из условий, что сум-

марные перемещения по направлениям отброшенных лишних связей в основной и заданной системе должны быть одинаковы. Если к основной системе приложены те же внешние нагрузки, что и в заданной системе, а отброшенные связи заменены усилиями в этих связях, то заданная и основная система будут эквивалентны по напряженно-деформированному состоянию. Усилия во всех сечениях всех элементов в обоих случаях останутся одинаковыми, а так же одинаковы будут все перемещения этих систем.

5. Определив основные неизвестные, заданную статически неопределимую систему можно заменить статически определимой основной системой, для которой в качестве нагрузок будут заданные внешние силы и усилия

в отброшенных связях. Усилия и перемещения в основной системе уже могут быть найдены методами расчета статически определимых систем, изученными в первой части курса.

Как видим, определить усилия в лишних связях статически неопределимой системы – это значит раскрыть ее статическую неопределимость.

Ход расчета статически неопределимой системы методом сил рассмотрим на примере рамы, изображенной на рис. 3.1а. Заданная система содержит

две лишние связи. Возможный вариант основной системы показан на рис. 3.1б, где неизвестными приняты опорная реакция (X 1 ) и изгибающий момент

в сечении ригеля справа от стойки (X 2 ) .

Заданная система и принятая основная система должны быть эквивалентны. Усилия во всех сечениях элементов и перемещения этих сечений в обоих случаях должны быть одинаковы. Принятая нами основная система отличается от заданной тем, что допускает перемещения по направлениям отброшенных связей. Если обеспечить условия, при которых полные перемещения в основной системе по направлениям отброшенных связей равны нулю, то это соответствует заданной системе и поэтому исчезает различие между заданной и основной системой. Найдем полные перемещения по направлениям отброшенных связей и, выполняя необходимые условия, примем эти перемещения равными нулю.

Пользуясь принципом независимости действия сил, (рассматривается линейнодеформируемая система) полные перемещения по направлению отброшенных связей можно записать в виде:

где первое уравнение системы (а) выражает суммарное перемещение (линейное) точки приложения силы X 1 по направлению отброшенной вертикальной связи, а второе – суммарное перемещение (взаимный угол поворота) сечений, примыкающих к введенному шарниру. Выясним смысл слагаемых этих уравнений.

В первом уравнении δ 11 – перемещение точки приложения силыX 1 по направлению силыX 1 , вызванное этой же силойX 1 = 1, аδ 11 X 1 – перемеще-

ние той же точки по тому же направлению, вызванное фактическим значением силы X 1 в основной системе. Второе слагаемое этого уравненияδ 12 X 2

выражает перемещение точки приложения силы X 1 в основной системе по направлению этой силы, вызванное силой (моментом)X 2 , а∆ 1 p – переме-

щение той же точки в основной системе по тому же направлению, вызванное заданными нагрузками. Суммарное перемещение точки приложения силы X 1

по направлению этой силы должно быть равно нулю, так как в заданной системе по этому направлению имеется связь и перемещение невозможно. Слагаемые второго уравнения выражают взаимный угол поворота сечений, примыкающих к сквозному шарниру в основной системе. Суммарный взаимный угол поворота сечений должен быть равен нулю, так как в заданной системе в этом месте нет разреза ригеля и перелом упругой линии невозможен.

δ 21X 1+ δ 22X 2+ δ 23X 3+ L

+ δ 2 n X n + ∆2 p =0;

δ X

n 1 1

Каждое уравнение системы (3.1) выражает суммарное перемещение по направлению отбрасываемой связи, и канонические уравнения метода сил являются кинематическими уравнениями . Таков механический смысл уравнений метода сил.

Перемещения в системе уравнений (3.1) обладают следующими свойствами: δ ii , расположенные на главной диагонали (на прямой слева вниз на-

право), не могут быть отрицательными или равными нулю; побочные коэффициенты δ ik обладают свойством взаимности (δ ik = δ ki на основании тео-

ремы о взаимности перемещений) и могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Свободные члены уравнений ∆ iP могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Выше показано, что каждое каноническое уравнение метода сил выражает суммарное перемещение определенного вида по направлению отбрасываемой связи. Характер этого суммарного перемещения зависит от типа принятого в основной системе неизвестногоX i . Например, для рамы, изобра-

женной на рис. 3.2а, обладающей семью избыточными связями, может быть принята основная система, как показано на рис. 3.2,б.

X 1 о.с.

X 2X 3

В данном примере имеем семь канонических уравнений. Каждое из