Угол поворота сечения сопромат. Дифференциальное уравнение изогнутой оси

Имеем закон Гука при изгибе: , где r(х) - радиус кривизны изогнутой оси балки в сечении х, М(х) - изгибающий момент в том же сечении, EJ - жесткость балки. Из высшей математики известно: - дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. - тангенс угла между осью х и касательной к изогнутой оси. Эта величина очень мала (прогибы балки малы) Þ ее квадратом пренебрегают и угол поворота сечения приравнивают тангенсу. Приближенное дифференциальное ур-ние изогнутой оси балки: . Если ось y направлена вверх, то знак (+). В некоторых вузах ось y направляется вниз Þ(-). Интегрируя дифф. уравнение, получаем: - ур-ние углов поворота, интегрируем второй раз: - получаем ур-ние прогибов.

ИЛИ
Для определения уравнения оси изогнутой балки воспользуемся законом Гука:

.

Выражение для кривизны некоторой кривой:

.

В пределах упругих деформаций квадрат угла поворота поперечного сечения балки ничтожно мал по сравнению с единицей. Поэтому (вторая производная от прогиба представляет собой кривизну изогнутой оси балки (уравнение изгиба) в рассматриваемом месте балки: .

Продифференцировав полученное уравнение дважды по z, получимдифференциальное уравнение оси изогнутой балки: .

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ОСИ ИЗОГНУТОЙ БАЛКИ

Интегрируя дифференциальное уравнение оси изогнутой балки первый раз, получим выражение, дающее закон изменения поперечной силы по длине балки.

Второе интегрирование дифференциального уравнения оси изогнутой балкиопределяет характер изменения изгибающего момента.

Третье интегрирование дифференциального уравнения оси изогнутой балкиопределяет характер изменения углов поворота поперечных сечений.

Четвертое интегрирование дифференциального уравнения оси изогнутой балки определяет закон изменения прогибов балки по ее длине.

Постоянные интегрирования определяются из условий закрепления балки

10.Определение прогибов и углов поворота поперечного сечения балки определяют с помощью универсального уравнения изогнутой оси балки (универсального уравнения упругой линии балки)

Формула (закон изменения) прогиба балки в сечении с координатой z и угол поворота сечения (рис. 7.15):

a и b – абсциссы точек приложения сосредоточенного момента M и сосредоточенной силы P, соответственно; c и d – координаты начала и конца участка, нагруженного распределенной нагрузкой.

В формулы входят только внешние усилия, которые расположены левее сечения, в котором определяются перемещения балки.

Если какая-нибудь нагрузка имеет противоположное указанному на рисунке 7.15 направление, то у соответствующих слагаемых в формулах прогибов и углов поворота сечений следует поменять знак на противоположный.

Прогиб и угол поворота балки в начале координат (начальные параметры) определяются из условий закрепления балки.

11 .Косым изгибом называется вид нагружения, при котором плоскость действия изгибающего момента не проходит ни через одну из главных осей сечения .

Напряжения и перемещения при косом изгибе найдем, используя принцип независимости действия сил. Косой изгиб рассматривается при этом как одновременный изгиб в 2-х плоскостях zx и zy. Для этого изгибающий момент М изг раскладывается на составляющие моменты осей х и у.

М х =М изг sin a, М у =М изг cos a

Нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения могут быть вычислены как алгебраическая сумма напряжений, возникающих от моментов M x и M y :

Сигма= М изг ((у/J x)sin a + (x/J y)cos a)

a - угол отклонения плоскости действия M от вертикали.

Если в каждой точке сечения отложить по нормали вектор сигма , то концы векторов, как и при простом изгибе образуют плоскость. Уравнение нейтральной линии в сечении найдем, полагая сигма=0:

У=-х(J x /J y) ctg a

При косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости изгибающего момента

14. Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы (изгибающие моменты, нормальная и поперечные силы) равны нулю.

Расчётная схема закрученного образца:

Полный угол закручивания.

Берём элементарный участок:

- относительный угол поворота, приходящийся на единицу длины.

Зависит от радиуса поперечного сечения круглого стержня.

Внутренняя сила в точке К определяется

Полярный момент инерции поперечного сечения – геометрическая характеристика, зависящая от размеров поперечного сечения.

Зависимость при кручении.

15. Обобщённые силы и обобщенные перемещения

В механике мы различаем два самостоятельных силовых фактора - сосредоточенные силы Р , пару сил с моментом m (рис. 12.1, а ). Иногда приходится иметь дело с группой сил и моментов. Назовём обобщённой силой Р группу сил или моментов, характеризуемых одним параметром или числом. На рис.12.1, б,в,г обобщёнными силами будут две силы Р , два момента .

Рис. 12.1

Производимая ими работа соответственно равна:

где а величина представляет собой площадь между исходной и изогнутой осями балки.

Обобщённым перемещением назовём множители , стоящий в выражении работы при обобщённой силе и .

Таким образом, под обобщенной силой будем понимать любую нагрузку (сосредоточенные силы, сосредоточенные пары, распределенную линейную нагрузку, распределенную моментную нагрузку), а под обобщенным перемещением – тот вид перемещения, на котором обобщенная сила производит работу.

Обобщёнными силами могут быть не только внешние, но и внутренние: или с двумя индексами. Первый индекс обозначает точку и направление перемещения, а второй указывает причину, вызвавшую искомое перемещение. Например, обозначает перемещение точки приложения силы F по направлению ее действия, вызванное этой же силой.

Для обозначения полного перемещения точки, вызванного несколькими обобщенными силами, при сохраняется только первый индекс.

Перемещение, вызванное безразмерной единичной силой или безразмерной единичной парой , обозначается символом и называется удельным. Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения.

Общий случай нагружения бруса, когда в поперечных сечениях возникают нормальные и поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты одновременно.

При разгрузке тела за счет потенциальной энергии производится работа.

Упругое тело является аккумулятором энергии.

Работа силы на упругом перемещении определяется половиной произведения наибольшего значения силы и перемещения ΔL .

U = ½ P ΔL

Если бы между силой и перемещением не было прямой пропорциональности, вместо коэффициента ½ был бы получен какой –то другой коэффициент. В частности при постоянной силе он равен единице.

Исключая из полученного для U выражения ΔL, найдем

U = P 2 l/2EF;

Энергия упругих деформаций стержня при изгибе определяется работой момента М на взаимном угловом перемещении dθ двух сечений.

dU = ½ M dθ

dθ = dz/ρ = Mdz/EJ x

Если нормальная сила N меняется вдоль оси стержня, то потенциальная энергия деформации должна определяться суммированием по участкам dz. Для элементарного участка dU = N 2 dz/2EF, а для всего стержня

U = L 0 ∫ N 2 dz/2EF.

Энергетическое соотношение широко используется при определении перемещения в сложных упругих системах.

17.Найдём работу которую совершают силы Р1 и Р2 в случайном приложении в различном порядке: А=1\2(Р1* ) +1\2(Р2 ;
А=1\2(Р2* ) +1\2(Р1 ; => Р2* А2=Р1* В1 - теорема Бетти
Работа первой силы на перемещение её точки приложено под действием второй силы равно работе второй силы на перемещение точки её приложения под действием первой силы.

18.Теорема Кастильяно не позволяет определить перемещения не в точках приложения сил. Если необходимо найти перемещение точки к которой не приложены внешние силы, то мы прикладываем в этой точке внешнюю силу Ф в инерциальное направление. Составим выражение для потенциальной энергии. Дальше по теореме Кастильяно находим производную получая соответственно . При этом считаем Ф=0. В поперечном сечении при приложении силы пропорциональной Ф. Будут возникать силовые факторы
Мк=Мкр+Мк1 * Ф где: Мкр - крутящий момент от заданной нагрузки; Мк1 - коэф. пропорц.
где где - искомое перемещение (линейное или угловое);

Мp, М1 - аналитические выражения изгибающих моментов соответственно от заданной и единичной cилы;

EJх - жесткость сечения балки в плоскости изгиба.

19. При вычислении интегралов вместо аналитических выражений моментов используются их эпюры. Т.е. значение можно найти по способу Верещагина, "перемножив" эпюры Мp и М1.

Перемножить две эпюры - значит площадь нелинейной эпюры изгибающих моментов умножить на ординату другой обязательно линейной эпюры, находящейся под центром тяжести первой, и результат разделить на жесткость (в случаях, когда на данном участке обе эпюры линейны, совершенно безразлично, на какой из них брать площадь, а на какой ординату).

Где Ω - площадь произвольной фигуры; Мc - ордината прямолинейной эпюры, соответствующей центру тяжести площади Ω

20 .Статично невизначені стержневі системи. Вибір основної системи : Под стержневой системою понимают конструкцію елементами которой является стержень. В случае если стержени работают на растяжение сжатие то такая конструкція називается фермой, если стержни работают на кручение или изгиб то такая конструкція називается рамой.Статически определимой системой називают системи в которих число ур. Равновесия равно числу неизвестних реакций связи, если число неизвестних реакцій свіязей більше числа ур. Равновесия то такая система назив.статически неопределимой, при етом разность между етими числами назив. степеню неопределимости системи.

21 . Канонічні рівняння методу сил: Пусть U i обобщенное перемещение соответствующее обобщенной силе x i (i=1.2…n). Для статически неопределимых систем представим перемещение как U i =U i +U ip ; U i =E n j =1 β ij *x j = β i 1 x 1 + β i 2 x 2 +… β in x n ;

Β ij =интM ki *M kj *dz/GI p +интM xi *M xj *dz/EI x +…

22.Нерозрізні балки.Рівняння трьох моментів. Способ раскрития статической неопределимости основан на врезании дополнительних шарниров что как известно приводит к снижению статической неопределимости на число равное числу дополнительних шарниров.Число дополнительних условий также равно числу дополнительних шарниров. Теорема о 3 моментах предпологает что дополнительние шарніри врезаются на лишних опорах, получим соотношение для неизвестних моментов которие возникают в данном случае этих дополнительних шарнірах:

M n-1 *ln+2*M n (ln+l n+1)+M n+1 *l n+1 =-6(w n *a n /ln+w n+1 *b n+1 /l n+1)

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси (рис. 8.22). Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией , а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y = y (x ) их центров тяжести сечений – прогибами балки .

Между прогибами y (x ) и углами поворота сечений θ (x ) существует определенная зависимость. Из рис. 8.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии (θ и φ - углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y / = tg θ . Следовательно, tg θ =tg φ =y / .

В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения h , а углы поворота θ не превышают 0.1 – 0.15 рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид θ =y / .

Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента M z и жесткости EI z (см. уравнение (8.8)):

Приравнивая правые части (8.26) и (8.27) и учитывая, что правила знаков для M z и y // были приняты независимо друг от друга, получаем

Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y , так как от этого направления зависит знак второй производной y // . Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знаки y // и M z совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y // и M z противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.

Заметим, что уравнение (8.29) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента M z содержит одну из главных осей инерции сечения.

Интегрируя (8.29), находим сначала углы поворота сечений

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2 n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.

К Вашим услугам. Но аксиомы: "если хочешь, чтобы работа была сделана хорошо, сделай это сам" пока никто не отменял. Дело в том, что в разного рода справочниках и пособиях иногда бывают опечатки или ошибки, поэтому использовать готовые формулы не всегда есть хорошо.

11. Определение угла поворота.

Прогиб строительной конструкции, а в нашем случае балки - единственная величина, которую проще всего определить опытным путем и сложнее всего теоретическим. Когда мы прикладывали к линейке нагрузку (давили на нее пальцем или мощью своего интеллекта), то невооруженным глазом видели, что линейка прогибалась:

Рисунок 11.1. Перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в центре балки и угол поворота продольной оси, проходящей через центр тяжести поперечного сечения, на одной из опор.

Если бы мы хотели определить величину прогиба опытным путем, то достаточно было бы измерить расстояние от стола, на котором лежат книги (на рисунке не показан) до верха или низа линейки, затем приложить нагрузку и измерить расстояние от стола до верха или низа линейки. Разница в расстояниях - это и есть искомый прогиб (на фотографии величина прогиба обозначена оранжевой линией):

Фотография 1 .

Но попробуем прийти к тому же результату, следуя по тернистому пути теории сопромата.

Так как балка прогнулась (в хорошем значении этого слова), получается, что и продольная ось, проходящая через центры тяжести поперечных сечений всех точек балки, и до приложения нагрузки совпадавшая с осью х , сместилась. Это смещение центра тяжести поперечного сечения по оси у называется прогибом балки f . Кроме того, очевидно, что на опоре эта самая продольная ось теперь находится под некоторым углом θ к оси х , а в точке действия сосредоточенной нагрузки угол поворота = 0, так как нагрузка у нас приложена посредине и балка прогнулась симметрично. Угол поворота принято обозначать "θ ", а прогиб "f " (во многих справочниках по сопромату прогиб обозначается как "ν ", "w " или любыми другими литерами, но нам, как практикам, удобнее использовать обозначение "f ", принятое в СНиПах).

Как определить этот самый прогиб мы пока не знаем, но зато мы знаем, что нагрузка, действуя на балку, создает изгибающий момент. А изгибающий момент создает внутренние нормальные сжимающие и растягивающие напряжения в поперечных сечениях балки . Эти самые внутренние напряжения приводят к тому, что в верхней части балка сжимается, а в нижней растягивается, при этом длина балки по оси, проходящей через центры тяжести поперечных сечений остается такой же, в верхней части длина балки уменьшается, а в нижней части увеличивается, причем чем дальше расположены точки поперечных сечений от продольной оси, тем больше будет деформация. Определить эту самую деформацию мы можем используя еще одну характеристику материала - модуль упругости.

Если мы возьмем кусок бинтовой резины и попробуем его растянуть, то обнаружим, что резина растягивается очень легко, а выражаясь по научному деформируется на значительную величину при воздействии даже небольшой нагрузки. Если мы попробуем проделать то же самое с нашей линейкой, то растянуть ее даже на десятые доли миллиметра руками вряд ли получится, даже если прилагать к линейке нагрузку в десятки раз большую, чем к бинтовой резине. Это свойство любого материала описывается модулем Юнга, который часто называется просто модулем упругости . Физический смысл модуля Юнга при максимально допустимом загружении рассчитываемой конструкции примерно следующий: модуль Юнга показывает отношение нормальных напряжений, (которые при максимально допустимом загружении равны расчетному сопротивлению материала к относительной деформации при таком загружении:

E = R/Δ (11.1.1)

а это значит, что для работы материала в области упругих деформаций значение внутренних нормальных напряжений, действующих не абстрактно, а на вполне определенную площадь сечения, с учетом относительной деформации не должно превышать значения модуля упругости:

E ≥ N/ΔS (11.1.2)

в нашем случае балка имеет прямоугольное сечение, поэтому S = b· h , где b - ширина балки, h - высота балки.

Измеряется модуль Юнга в Паскалях или кгс/м 2 . Для абсолютного большинства строительных материалов модули упругости определены эмпирическим путем, узнать значение модуля для того или иного материала можно по справочнику или сводной таблице .

Определить величину деформации для поперечного сечения, к которому приложена равномерно распределенная нагрузка или сосредоточенная сила в центре тяжести поперечного сечения, очень просто. В таком сечении возникают нормальные сжимающие или растягивающие напряжения, равные по значению действующей силе, направленные противоположно и постоянные по всей высоте балки (согласно одной из аксиом теоретической механики):

Рисунок 507.10.1

и тогда определить относительную деформацию, если известны геометрические параметры балки (длина, ширина и высота) несложно, простейшие математические преобразования формулы (11.1.2) дают следующий результат:

Δ = Q/(S · Е) (11.2.1) или Δ = q·h/(S · Е) (11.2.2)

Так как расчетное сопротивление показывает какую максимальную нагрузку можно приложить к определенной площади, то в данном случае мы можем рассматривать действие сосредоточенной нагрузки на всю площадь сечения нашей конструкции. В некоторых случаях важно определить деформации именно в точке приложения сосредоточенной нагрузки, но сейчас мы эти случаи не рассматриваем. Чтобы определить суммарную деформацию, нужно обе части уравнения умножить на длину балки:

Δl = Q·l/(b· h·Е) (11.2.3) или Δl = q·h·l/(b· h·Е) (11.2.4)

Но в рассматриваемом нами случае на поперечные сечения балки действует не сосредоточенная сила, приложенная к центру тяжести поперечного сечения, а изгибающий момент, который можно представить в виде следующей нагрузки:

Рисунок 149.8.3

При такой нагрузке максимальные внутренние напряжения и соответственно максимальные деформации будут происходить в самой верхней и в самой нижней части балки, а посредине никаких деформаций не будет. Равнодействующую для такой распределенной нагрузки и плечо действия сосредоточенной силы мы находили в предыдущей части (), когда определяли момент сопротивления балки. Поэтому теперь без особого труда можем определить суммарную деформацию в самой верхней и в самой нижней части балки:

Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е) (11.3.1)

Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)

так как W = b·h 2 /6 (10.6)

Эту же формулу мы можем получить и другим способом. Как мы знаем, момент сопротивления поперечного сечения балки должен удовлетворять следующему условию:

W ≥ М / R (10.3)

Если мы будем рассматривать эту зависимость как уравнение и заменим в этом уравнении значение R на ΔЕ, получим следующее уравнение:

W = М / ΔЕ (11.4.1)

М = WΔЕ (11.4.2) a Δ = M/(W·Е) (11.4.5) и соответственно Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)

В результате деформации, которую мы только что определили, наша балка могла была бы выглядеть так:

Рисунок 11.2. Предполагаемая (для наглядности) деформация балки

то есть в результате деформаций самая верхняя и самая нижняя точки поперечного сечения сместятся на величину Δх. А это значит, что зная величину деформации и высоту балки, мы можем определить угол поворота θ поперечного сечения на опоре балки. Из школьного курса геометрии мы знаем, что отношение катетов прямоугольного треугольника (в нашем случае катеты Δх и h/2) равно тангенсу угла θ:

tgφ = Δх/(h/2) (11.5.1)

tgφ = 2 M·х/(h·W·Е) (11.5.3)

Если вспомнить, что момент инерции - это момент сопротивления поперечного сечения, умноженный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения или наоборот, момент сопротивления - это момент инерции, разделенный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения:

W = I/(h/2) (10.7) или I = W·h/2 (10.7.2)

то мы можем заменить момент сопротивления на момент инерции:

tgφ = M·х/(I·Е) (11.5.4)

хотя делать это было не обязательно, но таким образом мы получили формулу угла поворота почти такой, как она дается во всех учебниках и справочниках по сопромату. Главное отличие в том, что обычно речь идет о угле поворота, а не о тангенсе угла. И хотя при малых деформациях значения тангенса угла и угол сопоставимы, но тем не менее угол и тангенс угла - это разные вещи (впрочем в некоторых справочниках, например: Фесик С.П. "Справочник по сопротивлению материалов" Киев: Будiвельник. - 1982 переход от тангенса к углу упоминается, хотя и без достаточных на мой взгляд объяснений). Более того, если быть совсем уж точным, то таким способом мы определяем отношение продольной деформации к высоте балки

Рассчитываемые элементы далеко не всегда имеют прямоугольное сечение, как наша рассматриваемая линейка. В качестве балок и перемычек могут использоваться различные горячекатаные профили, тесанные и не тесанные бревна и вообще все, что угодно. Тем не менее понимание принципов расчета момента инерции позволяет определить момент инерции для поперечного сечения любой, даже очень сложной геометрической формы. В абсолютном большинстве случаев вычислять самому момент инерции нет необходимости, для металлических профилей сложного сечения (уголки, швеллера, двутавры и др.) момент инерции, как впрочем и момент сопротивления определяется по сортаменту . Для элементов круглого овального, треугольного сечения и некоторых других видов сечения определить момент инерции можно по соответствующей таблице .

Если рассматривать суммарную деформацию всей балки, т.е. по всей длине l , то очевидно, что суммарная деформация при наших нагрузках не может быть только с одной стороны балки, как показано на рисунке 11.3.а:

Рисунок 11.3 .

Так как к нашей балке нагрузка приложена посредине, в результате чего реакции на опорах, возникающие в результате действия нагрузки равны между собой и каждая равна половине приложенной нагрузки, то скорее при этих условиях суммарная деформация будет выглядеть так, как показано на рисунке 11.3.b и тогда в нашем конкретном случае угол наклона поперечного сечения на каждой из опор будет:

tgθ = M·х/(2IЕ) (11.5.5)

Пока мы определяли тангенс угла поворота простым графоаналитическим методом и в случае, когда нагрузка к балке приложена посредине, это у нас неплохо получилось. Но варианты приложения нагрузок к балке бывают всякие и хотя суммарная деформация всегда будет равна Δl , но угол наклона поперечных сечений на опорах может быть разным. Если мы присмотримся к формулам (11.5.4) и (11.5.5) повнимательнее, то увидим, что мы умножаем значение момента в некоторой точке на величину х , которая с точки зрения теоретической механики ни чем не отличается от понятия - "плечо действия силы". Получается, что для определения тангенса угла поворота мы должны умножить значение момента на плечо действия момента, и значит, понятие "плечо" можно применить не только к силе, но и к моменту. Когда мы использовали понятие плеча действия силы, открытое еще Архимедом, то мы и предполагали как далеко это может нас завести. Метод, показанный на рисунке 5.3, дал нам значение плеча момента = х/2 . Теперь попробуем определить плечо момента другим способом (графоаналитический метод). Тут нам пригодятся эпюры, построенные для балки на шарнирных опорах:

Рисунок 149.7.1 Рисунок 149.7.2

Теория сопротивления материалов позволяет рассматривать внутренние нормальные напряжения, характеризуемые эпюрой "М" рисунка 149.7.1 для балки с постоянной жесткостью, как некую внешнюю фиктивную нагрузку. Тогда площадь эпюры "М" от начала балки до середины пролета - это фиктивная опорная реакция материала балки на равномерно изменяющуюся нагрузку. А фиктивный изгибающий момент - это площадь эпюры "М", умноженная на расстояние от центра тяжести эпюры "М" до рассматриваемой точки. Так как значение изгибающего момента посредине пролета составляет Ql/4, то площадь такой фигуры составит Ql/4(l/2)(1/2) = Ql 2 /16. А если это значение разделить на жесткость ЕI, то мы получим значение тангенса угла поворота.

Забегая наперед, определим значение прогиба. Расстояние от центра тяжести треугольной эпюры "М" до середины пролета равно l/6, тогда фиктивный изгибающий момент составит (Ql 2 /16)l/2 - (Ql 2 /16)l/6 = Ql 3 /48. Тогда прогиб f = Ql 3 /48EI. А так как эпюра моментов у нас расположена снизу балки, то такая фиктивная нагрузка будет в итоге давать отрицательное значение угла поворота и прогиба, что в общем-то логично, так как при таком действии нагрузки прогиб - смещение центра тяжести поперечного сечения будет происходить вниз по оси у.

Характерная особенность графоаналитического метода состоит в том, что количество вычислений можно еще сократить. Для этого нужно умножить площадь эпюры фиктивной нагрузки на расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат, а не до рассматриваемой точки на оси. Например, для вышеприведенного случая (Ql 2 /16)l/3 = Ql 3 /48

При равномерно распределенной нагрузке эпюра моментов описывается квадратичной параболой, определить площадь такой фигуры и расстояние до центра тяжести сложнее, но для того нам и нужны знания по геометрии, чтобы можно было определить площадь любой фигуры и положение центра тяжести такой фигуры.

Таким образом получается, что для балки, на которую действует сосредоточенная нагрузка в середине балки при х=l/2:

tgθ = М·(x/2)/(ЕI) = ((Ql/4)·(l/4))/(ЕI) = Ql 2 /(16EI) (11.6.1)

То, что мы только что делали называется интегрированием, ведь если умножить значение значение эпюры "Q" (рисунок 149.7.1) на длину действия нагрузки, мы тем самым определим площадь прямоугольника со сторонами "Q" и х, при этом площадь данного прямоугольника равняется значению эпюры "М" в точке х .

Теоретически получается, что мы можем определить значение тангенса угла поворота, интегрируя одно из уравнений моментов, составленных для нашей балки. Максимальное значение тангенса угла поворота для балки на двух шарнирных опорах, на которую действует сосредоточенная нагрузка посредине (рисунок 149.7.1), будет при х=l/2

tgθ = ∫Mdx/(EI) = ∫Axdx/(EI) = Ax 2 /(2EI) = (Q/2)·(l/2) 2 /(2ЕI) = Ql 2 /(16EI) (11.6.2)

где А - это реакция опоры = Q/2

При распределенной нагрузке интегрирование уравнения моментов: q(l/2)·x - qx 2 /2 для левой части балки дает следующий результат:

tgθ = ∫Mdx/(EI) = q·(l/2)·(l/2) 2 /(2ЕI) -q·(l/2) 3 /(6ЕI) = ql 3 /(24EI) (11.6.3)

Тот же результат мы получим и при использовании графо-аналитического метода.

Когда мы определяли угол поворота, то для наглядности предположили, что балка деформировалась так, как показано на рисунке 5.2, потом так, как показано на рисунке 11.3.b, потом мы выяснили, что если бы второй опоры не было, то балка повернулась вокруг первой опоры, но в действительности вторая опора есть и потому так балка деформироваться (при нашей нагрузке на балку) не может. Так как на опоре нет никакого вращающего момента и соответственно никаких внутренних напряжений, способных изменить геометрическую форму балки, то геометрическая форма балки на опоре остается неизменной, а внутренние напряжения, увеличивающиеся по ходу балки, деформируют балку все сильнее и это приводит к тому, что балка поворачивается вокруг шарнирных опор и этот угол поворота равен углу наклона поперечного сечения θ (так как мы рассматриваем балку-параллелепипед):

Рисунок 11.4. Реальная деформация балки.

Если мы просто постоим эпюру углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой посредине по уравнениям для левой и для правой части балки, то эпюра будет выглядеть так:

Рисунок 11.5 .

Данная эпюра была бы правильной только для балки, изображенной на рисунке 5.3.а. Очевидно, что в нашем случае эпюра так выглядеть не может и для построения правильной эпюры нужно учесть, что поперечные сечения балки имеют наклон на обоих опорах, причем наклон этот одинаковый по значению, но разный по направлению а наклон поперечного сечения балки посредине =0. Если мы опустим эпюру на Ql 2 /16EI, которое мы получаем при интегрировании уравнения моментов для левой части балки и которое показывает угол наклона поперечного сечения именно на опоре, то получим эпюру следующего вида:

Рисунок 11.6 .

Данная эпюра абсолютно точно показывает, изменение угла поворота поперечных сечений, вдоль всей балки, а значение тангенса угла поворота на левой опоре балки не что иное, как некая постоянная С 1 , которую мы получаем, если интегрирование выполнять корректно. И тогда уравнение угла поворота для балки при данной нагрузке на участке 0 будет выглядеть так:

tgθ х = - tgθ A + Ax 2 /(2EI) (11.6.5)

Эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой визуально ни чем не отличается от эпюры углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой, разница только в том, что эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой - это кубическая парабола. Уравнение угла поворота для балки с равномерно распределенной нагрузкой будет выглядеть так:

tgθ х = - tgθ A + Ax 2 /(2EI) - qx 3 /(6ЕI) (11.6.6)

По поводу знаков в данном уравнении. "-" означает, что рассматриваемый член уравнения как бы пытается повернуть балку против часовой стрелки относительно рассматриваемого поперечного сечения, а "+" - по часовой стрелке. Впрочем и по эпюре углов поворота видно, что значение tgθ А должно быть отрицательным. Таким образом, если сечение имеет наклон по часовой стрелке относительно оси х, то оно будет отрицательным, а если против часовой стрелки - то положительным.

Ну и теперь самое главное, все эти разборки с углом поворота поперечного сечения нужны нам были для того, чтобы определить прогиб балки.

12. Определение прогиба.

Как мы видим из рисунка 11.4, треугольник с катетами h/2 и Δх является подобным треугольнику с катетом Х и вторым катетом, равным f+у , а это значит, что теперь мы можем определить значение прогиба:

tgθ = (f + y)/Х (12.1)

f + y = tgθ·X (12.2.1) или f + y = М·x·Х/(2ЕI) (12.2)

при малых значениях х значение у близко к 0, но в более дальних точках сечения значение у увеличивается. Значение у - это и есть влияние на величину прогиба наличия второй опоры. Отметим, что это значение у показывает разницу между реальным наклоном продольной оси балки и наклоном продольной оси балки, если бы балка просто поворачивалась вокруг опоры, и получается, что значение у зависит от изменения угла поворота. Кроме того, мы опять получили уравнение, в котором значение прогиба в некоторой точке зависит от тангенса угла поворота (12.2.1) и таким образом получается, что у угла поворота тоже есть "плечо действия". Например при у=f/2 (если присмотреться к левой части фотографии 1, то посредине балки это где-то так и будет) мы бы получили следующую формулу для определения прогиба:

f = М·x 2 /(3ЕI) (12.3.1)

Но мы не будем ничего предполагать, а воспользуемся интегрированием. Если мы проинтегрируем уравнение моментов для левой части балки, то получим значение у (эпюра для у показана бирюзовым цветом на фотографии 1):

у =∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2)·(l/2) 3 /6EI = Ql 3 /(96EI) (12.3.2)

или площадь фиолетовой эпюры для левой части балки(рисунок 5.5), но нам нужна площадь голубой эпюры на левом участке балки (рисунок 5.6), которая в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры. Таким образом:

f =2∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2)·(l/2) 3 /6EI = Ql 3 /(48EI) (12.3.3)

Почему площадь голубой эпюры в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры, объяснить очень легко. Площадь треугольника равна 1/2 от площади прямоугольника с теми же сторонами, площадь фигуры, описанной квадратной параболой, составляет 1/3 от площади прямоугольника с теми же сторонами. Если бы мы развернули фиолетовую эпюру, то получили бы прямоугольник, образованный голубой и фиолетовой эпюрами. Соответственно, если из площади прямоугольника вычесть 1/3, то мы получим 2/3. У этого логического ряда есть продолжение - площадь фигуры, описанной кубической параболой, составляет 1/4 от площади прямоугольника с теми же сторонами и так далее.

Мы можем найти значение прогиба и другим способом. Из рисунка 11.4 и формул (12.2) следует, что:

f х = - tgθx + ∫tgθdx (12.3.4)

f l/2 = - (Ql 2 /16EI) l/2 + (Ql 3 /96EI) = -(Ql 3 /48EI) (12.3.5)

В данном случае знак "-" показывает, что центр поперечного сечения балки переместится вниз по оси у относительно оси х . А теперь вернемся к фотографии 1. Под продольной осью балки изображена эпюра у , именно это значение в точке l/2 мы и вычли, решая уравнение (12.3.3). Кроме того получается, что соотношение между f и у зависит от коэффициента предыдущего интегрирования, т.е. у = kf или f = y/k . Когда мы интегрировали уравнение сил, то получили коэффициент 1/2. Впрочем, такое же значение мы получили и тогда, когда определяли плечо действия момента. Если продолжить этот логический ряд, то получается, что при определении прогиба от распределенной нагрузки мы должны использовать коэффициент 1/3, то есть прогиб в середине балки мы можем вычислить по следующей формуле:

f= 2∫∫∫(ql/2)dx - 3 ∫∫∫∫ qdх = (2(qlx 3 /6) - 3(qx 4 /24))/EI = 5ql 4 /(384EI) (12.4.4)

f х = - ∫tgθdx + ∫∫∫(ql/2)dx -∫∫∫∫qdх (12.4.5)

f l/2 = (- ql 3 x/24 + (qlx 3 /6) - (qx 4 /24))/EI = - 5ql 4 /(384EI) (12.4.6)

В данном случае знак "-" означает, что центр тяжести поперечного сечения перемещается вниз по оси у .

Примечание: Предложенный метод определения прогиба несколько отличается от общепринятых, так как я старался сделать основной упор на наглядность.

Если определять прогиб графоаналитическим методом, то площадь фиктивной нагрузки - эпюры моментов, описываемой квадратной параболой, будет составлять (согласно таблице 378.1) (2ql 2 /(8·3))l/2 = ql 3 /24. А расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат составляет 5/8, Тогда фиктивный момент равен (ql3/24)(5l/(8·2)) = 5ql 4 /384.

Конечно же, сосредоточенная нагрузка к балке может быть приложена и не посредине, распределенная нагрузка может быть не только равномерно распределенной и действовать не по всей длине балки, да и варианты крепления балки на опорах бывают разные. Но для того и существуют готовые формулы , чтобы ими пользоваться.

Позвольте! - Скажете вы, - Все это хорошо, но как быть с касательными напряжениями? Ведь они действуют вдоль оси у и потому должны как-то влиять на прогиб!

Все верно. Касательные напряжения действительно влияют на прогиб , однако для балок с соотношением l/h > 10 это влияние очень незначительно и потому допустимо для определения прогиба пользоваться изложенным в данной статье методом.

Но это еще не все, как мы уже говорили, определить значение прогиба опытным путем достаточно просто по методу, описанному в самом начале статьи. Так так ничего лучшего под рукой не было, то я взял деревянную линейку, прообраз которой я так долго описывал (см. фотографию 1). Деревянная линейка имела размеры около 91.5 см, ширину b=4.96 см и высоту h=0.32 cм (высоту и ширину определял штангенциркулем). Затем я положил линейку на опоры, при этом расстояние между опорами составило около 90 см и таким образом получил балку с пролетом l=90 см. Под воздействием собственного веса линейка конечно же немного прогнулась, но столь малый прогиб меня не интересовал. Я измерил рулеткой (точность до 1 мм) расстояние от пола до низа линейки (77.65 см), затем приложил посредине условно сосредоточенную нагрузку (поместил посредине мерный стакан весом около 52 грамм с 250 граммами воды) и измерил расстояние от пола до низа линейки при нагрузке (75.5 см). Разница этих двух измерений и составила искомый прогиб. Таким образом величина прогиба определенного опытным путем составила 77.65 - 75.5 = 2.15 см. Осталось только найти модуль упругости для древесины, определить момент инерции для данного сечения и точно посчитать нагрузку. Модуль упругости Е для древесины = 10 5 кгс/см 2 , момент инерции прямоугольного сечения I z = bh 3 /12 = 4.98·0.32 3 /12 = 0.01359872 см 4 , полная нагрузка - 0.302 кг.

Расчет прогиба по формуле дал: f = Ql 3 /(48EI) = 0.302·90 3 /(48·10 5 ·0.0136) = 3.37 см. Напомню, что прогиб, определенный опытным путем, составил: f = 2.15 см. Возможно следовало учесть влияние на прогиб первой производной функции - тангенса угла поворота? Ведь угол наклона, судя по фотографии, достаточно большой.

Проверяем: tgθ = Ql 2 /(16EI) = 0.302·90 2 /(16·10 5 ·0.0136) = 0.11233. Тогда согласно формулы (542.12) f = 3.37/((1 + 0.112 2) 3/2) = 3.307 см. Т.е. влияние конечно есть, но оно не превышает 2% или 0.63 мм.

Результат меня сначала удивил, но потом объяснений для такого расхождения нашлось несколько, в частности в середине поперечное сечение линейки было не прямоугольным, так как линейка была деформирована от времени и воздействия воды, соответственно момент инерции для такого сечения больше чем, для прямоугольного, кроме того, линейка изготовлена не из сосны, а из более твердой породы древесины, для которой и модуль упругости следует принимать больше. Да и с научной точки зрения одного результата совершенно недостаточно, чтобы говорить о каких-либо закономерностях. После этого я проверил величину прогиба для деревянного бруска с моментом инерции I=2.02 см 4 , длиной более 2 м при пролете 2 м под нагрузкой 2 кг, приложенной посредине бруска и тогда значение прогиба, определенного теоретическим путем и опытным путем, совпало до десятых долей миллиметра. Конечно, можно было бы и дальше продолжать эксперименты, но так уж получилось, что до меня это уже сделали сотни других людей и получили на практике результаты, очень близкие к теоретическим. А если еще учесть, что идеально изотропные материалы бывают только в теории, то это очень хорошие результаты.

Определение угла поворота через прогиб.

Определить значение угла поворота для шарнирно опертой балки, на которую действует только изгибающий момент M на одной из опор, например на опоре А , казалось бы, проще простого:

tgθ х = - tgθ A + Мx/(EI) - Аx 2 /(2ЕI) (13.1.1)

где А = М/l , (B = - M/l), но для этого нужно знать угол поворота на опоре А , а мы его не знаем, однако вычислить его помогает понимание того, что прогиб на опорах будет равен нулю и тогда:

f A = tgθ B l - Bl 3 /(6EI) = 0; tgθ B = - Ml 3 /(6l 2 EI) = - Ml/(6EI) (13.1.2)

f B = tgθ A l + Ml 2 /(2EI)- Al 3 /(6EI) = 0; tgθ A = - Ml/(3EI) (13.1.3)

Как видим, угол поворота на опоре к которой приложен изгибающий момент, в два раза больше угла поворота на противоположной опоре, это очень важная закономерность, которая в дальнейшем нам очень пригодится.

Когда сосредоточенная нагрузка к балке приложена не по центру тяжести или распределенная нагрузка является неравномерной, то углы поворота на опорах определяются через прогиб, как в вышеприведенном примере. Другими словами - значения начальных параметров определяются в ходе решения

Ранее были рассмотрены вопросы, относящиеся к расчету балок на прочность. В большинстве случаев практического расчета деталей, работающих на изгиб, необходимо также производить расчет их на жесткость.

Под расчетом на жесткость подразумевается оценка упругой податливости балки под действием приложенных нагрузок и подбор таких размеров поперечного сечения, при которых перемещения не будут превышать установленных нормами пределов.

Рассмотрим деформацию балки при плоском изгибе (рис. 7.4). Ось балки под действием нагрузки, расположенной в одной из главных плоскостей инерции (плоскость ), искривляется в той же плоскости, а поперечные сечения поворачиваются и одновременно получают поступательное перемещение. Искривленная ось балки называется упругой линией .

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к оси балки (), называется прогибом балки в данном сечении .

Наибольший прогиб называется стрелой прогиба ().

Угол θ, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения .

Условимся, оси координат всегда располагать следующим образом: начало координат помещать на левом конце балки, ось направлять по оси балки вправо, а ось - вверх.

Для определения прогибов балки воспользуемся уравнением, связывающим кривизну оси балки с изгибающим моментом и жесткостью сечения балки.

Из курса высшей математики известна следующая формула для кривизны линии

, (7.2)

Подставляя (7.2) в (7.1) получим

(7.3)

Выражение (7.3) представляет точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии). Интегрирование данного уравнения представляет большие трудности. Однако для большинства практических задач величиной ввиду малости деформаций по сравнению с единицей можно пренебречь. Тогда получим упрощенное уравнение упругой линии:

(7.4)

В дальнейшем уравнение (7.4) будем называть основным дифференциальным уравнением упругой линии (для малых деформаций).

Решая задачу аналитическим способом, углы поворота и прогибы вычисляют последовательным интегрированием основного дифференциального уравнения (7.4). Проинтегрировав уравнение первый раз, получим выражение для угла поворота :

, (7.5)

, (7.6)

Значения и определяют из условий закрепления балки. Так для балки.

Дифференциальные соотношения

Рассмотрим рисунок 5.1. Балка постоянного сечения под воздействием внешней нагрузки Р деформируется так, что ее концевая точка C перемещается в положение С 1 . Нейтральная ось балки, называемая в дальнейшем упругой линией, в точке с координатой z имеет кривизну 1/r , прогиб y , угол наклона q =y¢ , вторую производную y² .

Перечисленные параметры связаны между собой соотношением, доказываемым в дифференциальной геометрии: (5.1)

Для малых перемещений величиной y" 2 по сравнению с 1 можно пренебречь, тогда: (5.2)

Учитывая (5.2) и (3.7.b) получим:

С учетом соотношений (4.1) и (4.2) можно получить цепочки дифференциальных соотношений для случая бруса переменного сечения:

а также для бруса с постоянным сечением:

В частности, при нагружении бруса постоянного сечения равномерно распределенной нагрузкой q :

(5.6)

Следовательно, эпюры в соответствии с дифференциальными соотношениями (5.5), в зависимости от рассматриваемого параметра, будут иметь следующие формы (рис.5.2): q - горизонтальная прямая, Q - наклонная прямая, М - квадратичная парабола, q - кубическая парабола, у – кривая четвертого порядка. Если q =0, но имеется сосредоточенная сила Р , то ось будет изогнута по кривой третьего порядка. Если балка нагружена только изкибающим моментом М , то ось выразится кривой второго порядка.

Наибольшие удлинения и напряжения в брусе вычисляются по формулам, вытекающим из (4.6) и (4.7):

Пример 5.1

Определим прогибы балки, изображенной на рис.5.1. Изгибающий момент в сечении z равен: M = P (l - z)

После двукратного интегрирования выражения

M =EJ x y²

из (5.5) находим:

y² = M / EJ x = P (l - z) / EJ x

Постоянную интегрирования С 1 найдем из граничного условия: при z = 0имеем: y¢ = 0. Отсюда С 1 = 0, но для общности решения пока оставим этот член в формуле:

. (5.9)

Постоянную интегрирования С 2 определяем из граничного условия: при z = 0 y = 0. Следовательно, С 2 = 0, тогда для произвольной точки:

. (5.10)

Максимальные угол наклона и прогиб имеют место в точке приложения силы Р.

Таким образом,при z=l имеем:

Универсальное уравнение упругой линии балки

Из примера 5.1 видно, что для каждого участка балки после интегрирования уравнения появляются две произвольные постоянные (С 1 ,С 2 в 5.9). Если балка имеет n участков, то для определения 2n постоянных интегрирования необходимо совместно решить 2n уравнений. Для бруса постоянной жесткости EJ x этого можно избежать, если при составлении уравнения упругой линии придерживаться определенных правил.

Рассмотрим брус (рис.5.3), нагруженный наиболее часто встречающимися силовыми факторами: сосредоточенным моментом М а, сосредоточенной силой Р и распределенной нагрузкой интенсивности q . Из этих типов силовых факторов могут быть скомбинированы почти все встречающиеся на практике виды нагрузок. За положительные направления сил при движении от левого конца примем те, которые указаны на рисунке, то есть для Р и q - вверх, а для момента М а - по часовой стрелке. Система указанных силовых факторов должна удовлетворять условиям равновесия.

Выявим особенности, вносимые в уравнение упругой линии различными типами внешних силовых факторов. Для этого составим выражения изгибающих моментов для каждого из пяти отмеченных на рисунке участков:

(5.12)

Видно, что изгибающий момент для каждого последующего участка целиком включает в себя выражение изгибающего момента предыдущего участка и отличается от него добавкой нового слагаемого. При переходе от четвертого участка к пятому указанная закономерность сохранена специально. При этом равномерно распределенная нагрузка четвертого участка продолжена, как это показано пунктиром, на пятый участок, и одновременно на пятом участке приложена отрицательная (компенсирующая) нагрузка интенсивности q.

Проинтегрируем полученные выражения один раз, не раскрывая скобок. Для того чтобы сохранить однотипность полученных выражений, интеграл от М а напишем в виде М а (z-a), что скажется только на величине произвольной постоянной С i . В итоге, с учетом выражения y² = M / EJ x получим следующие выражения для угла наклона упругой линии у" :

Произвольные постоянные С i , должны быть подобраны так, чтобы при переходе от одного участка к другому величина у" не претерпевала разрыв. Следовательно, при z=а у" 1 =у" 2 , при z=b у" 2 =у" 3 ,и так далее.

Так как брус имеет постоянную жесткость, очевидно, что

Угол наклона q 0 упругой линии в начале координат определяется из выражения для первого участка:

Интегрируя полученные выражения второй раз найдем:

(5.14)

Произвольные постоянные D i , должны быть подобраны из условия непрерывности функции у на границах участков. Следовательно, при z=а у 1 =у 2 , при z=b у 2 =у 3 и т.д. Так как брус имеет постоянную жесткость, очевидно, что

где у 0 – ордината упругой линии в начале координат. Уравнения (5.14) удобно записать в виде одного общего, так называемого универсального уравнения упругой линии балки : (5.15)

Для определения координат точек упругой линии первого участка следует пользоваться членами уравнения, расположенными слева от вертикальной черты с индексом I . Для второго участка надо брать слагаемые до черты с индексом II , и т.д. Для определения ординат на пятом участке следует производить вычисления, пользуясь полным уравнением 5.15. Преимущество универсального уравнения заключается в том, что оно позволяет составлять уравнение упругой линии, минуя громоздкое определение произвольных постоянных. Независимо от числа участков, необходимо определить только две постоянные: у 0 и q 0 .

Пример 5.2

Написать уравнение упругой линии для консоли с жестко защемленным левым концом и загруженной на среднем участке распределенной нагрузкой q (рис.5.4). Определяем реакцию и момент в заделке:

Теперь можно вместо левой заделки рисовать на схеме эквивалентные ей реакции опор. Таким образом, схема сведена к виду, для которого выписано универсальное уравнение. Начало координат помещаем на левом конце балки. Здесь q 0 = 0 и y 0 = 0.

В первый участок входят слагаемые силы и момента в заделке. На втором участке к ним добавляется слагаемое распределенной нагрузки. На третьем участке перемещения определяются всеми слагаемыми уравнения. Если раскрыть скобки, то для последнего участка получим:

.

Здесь упругая линия представляет собой прямую, поскольку изгибающий момент равен нулю.